Олимпиадные задачи из источника «1975 год» для 6-7 класса - сложность 2-4 с решениями
В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:
а) набор цифр 1234; 3269; б) вторично набор 1975; в) набор 8197?
Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?
Натуральные числа <i>a, b, c</i> таковы, что числа <i>p = b<sup>c</sup> + a, q = a<sup>b</sup> + c, r = c<sup>a</sup> + b</i> простые. Доказать, что два из чисел <i>p, q, r</i> равны между собой.
Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными: <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).