Олимпиадные задачи из источника «1979 год» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями
а) Существует ли последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., обладающая следующим свойством: ни один член последовательности не равен сумме нескольких других и <i>a<sub>n</sub> ≤ n</i><sup>10</sup> при любом <i>n</i>? б) Тот же вопрос, если <i>a<sub>n</sub> ≤ n</i><img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79370/problem_79370_img_2.gif"> при любом <i>n</i>.
На химической конференции присутствовало<i>k</i>учёных химиков и алхимиков, причём химиков было больше, чем алхимиков. Известно, что на любой вопрос химики всегда отвечают правду, а алхимики иногда говорят правду, а иногда лгут. Оказавшийся на конференции математик про каждого учёного хочет установить, химик тот или алхимик. Для этого он любому учёному может задать вопрос: ``Кем является такой-то: химиком или алхимиком?'' (В частности, может спросить, кем является сам этот учёный.) Доказать, что математик может установить это за: а) 4<i>k</i>вопросов; б) 2<i>k</i>- 2 вопросов.
На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости а) 7 кругов; б) 6 кругов, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее трёх кругов?
На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?
<i>ABCD</i>- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.<i>O</i>- центр описанной окружности четырехугольника<i>ABCD</i>. Докажите, что расстояние от точки <i>O</i>до стороны <i>AB</i>равно половине длины стороны <i>CD</i>.