Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Найдите минимум по всем α, β максимума функции<div align="CENTER"> <i>y</i>(<i>x</i>) = |cos <i>x</i> + α cos 2<i>x</i> + β cos 3<i>x</i>|. </div>

Докажите, что ни для каких векторов<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>не могут одновременно выполняться три неравенства<div align="CENTER"> <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>a</i>| < |<i>b</i> − <i>c</i>|,  <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>b</i>| < |<i>c</i> − <i>a</i>|,  <img align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79503/problem_79503_img_2.gif">|<i>c</i>| < |<i>a</i> − <i>b</i>|. </div>...

Решите уравнение<i>x</i>^x⁴= 4 (<i>x</i>> 0).

Биссектриса угла<i>A</i>треугольника<i>ABC</i>продолжена до пересечения в<i>D</i>с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что<i>AD</i> > 1/2 (<i>AB</i> + <i>AC</i>).

На листе бумаги отмечены точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник<i>ABCD</i>квадратом?