Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 9-11 класса - сложность 1-3 с решениями

Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.

Докажите, что все участники решили поровну задач.

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

Докажите, что если  <i>a + b + c + d</i> > 0,  <i>a > c</i>,  <i>b > d</i>,  то  |<i>a + b</i>| > |<i>c + d</i>|.