Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 4-8 класса - сложность 2-3 с решениями
Диагональ <i>AC</i> трапеции <i>ABCD</i> равна боковой стороне <i>CD</i>. Прямая, симметричная <i>BD</i> относительно <i>AD</i>, пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>E</i>.
Докажите, что прямая <i>AB</i> делит отрезок <i>DE</i> пополам.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 4, и на 5, и на 6 кучек равной массы?
От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?
В центре квадратного пирога находится изюминка. От пирога можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. Можно ли отрезать изюминку?
Каждый участник шахматных соревнований выиграл белыми столько же партий, сколько все остальные вместе взятые – чёрными.
Докажите, что все участники выиграли поровну партий.
Можно ли четыре раза рассадить девять человек за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза?
Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?
Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.
Докажите, что все участники решили поровну задач.
Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?
Докажите, что если <i>a + b + c + d</i> > 0, <i>a > c</i>, <i>b > d</i>, то |<i>a + b</i>| > |<i>c + d</i>|.