Олимпиадные задачи из источника «1992 год» для 8-11 класса - сложность 2 с решениями

Найдите углы выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>, в котором$\angle$<i>BAC</i>= 30^<tt>o</tt>,$\angle$<i>ACD</i>= 40^<tt>o</tt>,$\angle$<i>ADB</i>= 50^<tt>o</tt>,$\angle$<i>CBD</i>= 60^<tt>o</tt>и$\angle$<i>ABC</i> + $\angle$<i>ADC</i> = 180^<tt>o</tt>.

Требуется заполнить числами квадратную таблицу из <i>n</i>×<i>n</i> клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из  4<i>n</i> – 2  диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при

  а)  <i>n</i> = 55?

  б)  <i>n</i> = 1992?

В квадратной таблице из 9×9 клеток отмечены 9 клеток, лежащие на пересечении второй, пятой и восьмой строк со вторым, пятым и восьмым столбцами. Сколькими путями можно из левой нижней клетки попасть в правую верхнюю, двигаясь только по неотмеченным клеткам вверх или вправо?

Каждый участник шахматных соревнований выиграл белыми столько же партий, сколько все остальные вместе взятые – чёрными.

Докажите, что все участники выиграли поровну партий.

Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.

Докажите, что все участники решили поровну задач.

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

Докажите, что если  <i>a + b + c + d</i> > 0,  <i>a > c</i>,  <i>b > d</i>,  то  |<i>a + b</i>| > |<i>c + d</i>|.