Олимпиадные задачи из источника «1995 год» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями
Разрезать отрезок [–1, 1] на чёрные и белые отрезки так, чтобы интегралы от любой а) линейной функции; б) квадратного трёхчлена по белым и чёрным отрезкам были равны.
Можно ли рёбра <i>n</i>-угольной призмы раскрасить в три цвета так, чтобы на каждой грани были все три цвета и в каждой вершине сходились рёбра разных цветов, если а) <i>n</i> = 1995; б) <i>n</i> = 1996.
Целые числа <i>a, b</i> и <i>c</i> таковы, что числа <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup><i>b</i></sup>/<sub><i>c</i></sub> + <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>a</i></sub> и <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>с</i></sub> + <sup><i>с</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> + <sup><i>b</i></sup>/<sub><i>a</i></sub> тоже целые. Докажите, что |<i>a</i>| = |<i>b</i>| = |<i>c</i>|.
Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать а) sin <sup>α</sup>/<sub>2</sub>, б) sin <sup>α</sup>/<sub>3</sub>?
Достаточно ли для изготовления закрытой со всех сторон прямоугольной коробки, вмещающей не менее 1995 единичных кубиков,
а) 962; б) 960; в) 958 квадратных единиц материала?