Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 7-9 класса - сложность 3 с решениями

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками<i> AB </i>и<i> AD </i>и дугой<i> BD </i>некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

Раскраска вершин графа называется <i>правильной</i>, если вершины одного цвета не соединены ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в <i>k</i> цветов, причём его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех <i>k</i> цветов ровно по одному разу.