Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 8-9 класса - сложность 3-5 с решениями

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки <i>C</i>, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что отрезок <i>AB</i> перпендикулярен линии центров окружностей.

Дан остроугольный треугольник<i>ABC</i>и точка<i>P</i>, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников<i>PAB</i>,<i>PAC</i>,<i>PBC</i>и<i>ABC</i>, а также окружность, проходящая через проекции точки<i>P</i>на стороны треугольника<i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.

На окружности расставлено <i>n</i> цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки  <i>n</i> – 1  цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (<i>n</i>–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?