Олимпиадные задачи из источника «2005 год» для 1-9 класса - сложность 4 с решениями
На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает<i>n</i>точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (<i>n</i>+1)<sup>2</sup>попыток?
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из <i>k</i> цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) <i>k</i> = 7; б) <i>k</i> = 10.
Дан остроугольный треугольник<i>ABC</i>и точка<i>P</i>, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников<i>PAB</i>,<i>PAC</i>,<i>PBC</i>и<i>ABC</i>, а также окружность, проходящая через проекции точки<i>P</i>на стороны треугольника<i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.