Олимпиадные задачи из источника «2005 год» для 10 класса - сложность 1-2 с решениями
Дана последовательность <i>a<sub>n</sub></i> = 1 + 2<sup><i>n</i></sup> + ... + 5<sup><i>n</i></sup>. Существуют ли пять идущих подряд её членов, кратных 2005?
Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?
Дискриминанты трёх приведённых квадратных трёхчленов равны 1, 4 и 9.
Докажите, что можно выбрать по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма равнялась сумме оставшихся корней.
Высоты <i>AA'</i> и <i>BB'</i> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> – середины отрезков <i>AB</i> и <i>CH</i> соответственно.
Доказать, что прямые <i>XY</i> и <i>A'B'</i> перпендикулярны.