Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 7-9 класса - сложность 2-5 с решениями

Дан треугольник <i>ABC</i> и точки <i>P</i> и <i>Q</i>, лежащие на его описанной окружности. Точку <i>P</i> отразили относительно прямой <i>BC</i> и получили точку <i>P_a</i>. Точку пересечения прямых <i>QP_a</i> и <i>BC</i> обозначим <i>A'</i>. Точки <i>B'</i> и <i>C'</i> строятся аналогично. Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i> и <i>C'</i> лежат на одной прямой.

Натуральное число <i>n</i> таково, что  3<i>n</i> + 1  и  10<i>n</i> + 1  являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число  29<i>n</i> + 11  – составное.

В коробке лежат карточки, занумерованные натуральными числами от <i>1</i> до <i>2006</i>. На карточке с номером <i>2006</i> лежит карточка с номером <i>2005</i> и т. д. до <i>1</i>. За ход разрешается взять одну верхнюю карточку (из любой коробки) и переложить ее либо на дно пустой коробки, либо на карточку с номером на единицу больше. Сколько пустых коробок нужно для того, чтобы переложить все карточки в другую коробку?

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

Один из двух приведённых квадратных трёхчленов имеет два корня, меньших 1000, другой – два корня, больших 1000. Может ли сумма этих трёхчленов иметь один корень меньший 1000, а другой – больший 1000?