Олимпиадные задачи из источника «8 класс» для 5-8 класса - сложность 2 с решениями
8 класс
НазадДевять одинаковых по виду монет расположены по кругу. Пять из них настоящие, а четыре — фальшивые. Никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Настоящие монеты весят одинаково, и фальшивые — одинаково (фальшивая монета тяжелее настоящей). Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить все фальшивые монеты?
Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> – равнобедренные прямоугольные (стороны <i>AB</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> – гипотенузы). Известно, что <i>C</i><sub>1</sub> лежит на <i>BC, B</i><sub>1</sub> лежит на <i>AB</i>, а <i>A</i><sub>1</sub> лежит на <i>AC</i>. Докажите, что <i>AA</i><sub>1</sub> = 2<i>CC</i><sub>1</sub>.
В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?