Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 6-9 класса - сложность 3-4 с решениями

Стороны треугольника <i>ABC</i> видны из точки <i>T</i> под углами 120°. Докажите, что прямые, симметричные прямым <i>AT, BT</i> и <i>CT</i> относительно прямых <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно, пересекаются в одной точке.

В однокруговом футбольном турнире играли &nbsp<i>n</i> > 4  команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.

  а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.

  б) При каком наименьшем <i>n</i> могут не найтись пять таких команд?

Выпуклая фигура <i>F</i> обладает следующим свойством: любой правильный треугольник со стороной 1 можно параллельно перенести так, что все его вершины попадут на границу <i>F</i>. Обязательно ли <i>F</i> – круг?