Олимпиадные задачи из источника «2010 год» для 10 класса - сложность 2 с решениями
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
Дана трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD = a</i> и <i>BC = b</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> лежат на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно, причём отрезок <i>MN</i> параллелен основаниям трапеции. Диагональ <i>AC</i> пересекает этот отрезок в точке <i>O</i>. Найдите <i>MN</i>, если известно, что площади треугольников <i>AMO</i> и <i>CNO</i> равны.
Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов <i>x</i>² + <i>ax + b</i>, <i>x</i>² + <i>cx + d</i>, <i>x</i>² + <i>ex + f</i> не имеет корней.
Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?