Олимпиадные задачи из источника «2019 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.

У многогранника, изображенного на рисунке, грани — четыре правильных пятиугольника, четыре треугольника и два квадрата. Во сколько раз сторона верхнего квадрата больше стороны нижнего?<img src="/storage/problem-media/66615/problem_66615_img_2.png">

Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\frac{a}{x}$, что в первой координатной четверти (x>0, y>0) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?

Пользуясь равенством $\lg11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n>1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?

Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.

Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_1,\ldots,x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. Когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0\leqslant x_1\leqslant\ldots\leqslant x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети?

Каждая точка плоскости раскрашена в один из трех цветов. Обязательно ли найдется треугольник площади 1, все вершины которого имеют одинаковый цвет?

Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить?

Биссектриса угла <i>ABC</i> пересекает описанную окружность <i>w</i> треугольника <i>ABC</i> в точках <i>B</i> и <i>L</i>. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>AC</i>. На дуге <i>ABC</i> окружности <i>w</i> выбрана точка <i>E</i> так, что <i>EM</i> &parallel; <i>BL</i>. Прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> пересекают прямую <i>EL</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что <i>PE = EQ</i>.

Внутри равнобедренного треугольника <i>ABC</i> отмечена точка <i>K</i> так, что <i>AB = BC = CK</i> и ∠<i>KAC</i> = 30°. Найдите угол <i>AKB</i>.