Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 11 класса - сложность 3 с решениями

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.

Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны.

Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны. <img src="/storage/problem-media/67022/problem_67022_img_2.png">