Олимпиадные задачи из источника «8 класс»

Рассмотрим все моменты времени, когда часовая и минутная стрелки часов лежат на одной прямой, образуя развёрнутый угол.

Найдутся ли среди таких прямых две взаимно перпендикулярные?

Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5 см, а ее боковые стороны имеют длины 6 см и 8 см. Найдите расстояние между серединами оснований.

Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения   <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   и   ¹/_<i>а</i> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   принимают целые значения.

Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причём каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?

К окружности с диаметром<i>АС</i>проведена касательная<i>ВС</i>. Отрезок<i>АВ</i>пересекает окружность в точке<i>D</i>. Через точку<i>D</i>проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок<i>ВС</i>в точке<i>K</i>. В каком отношении точка<i>K</i>разделила отрезок<i>ВС</i>?

Укажите все пары  (<i>x</i>; <i>y</i>),  для которых выполняется равенство   (<i>x</i>⁴ + 1)(<i>y</i>⁴ + 1) = 4<i>x</i>²<i>y</i>².

Найдите все натуральные <i>m</i> и <i>n</i>, для которых  <i>m</i>! + 12 = <i>n</i>².

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> угол <i>B</i> равен 60°, <i>AM</i> и <i>CN</i> – его высоты, а <i>Q</i> – середина стороны <i>AC</i>. Докажите, что треугольник <i>MNQ</i> – равносторонний.

Решите систему уравнений:     1 –<i>x</i>₁<i>x</i>₂= 0,     1 –<i>x</i>₂<i>x</i>₃= 0,     ...     1 –<i>x</i>₂₀₀₀<i>x</i>₂₀₀₁= 0,     1 –<i>x</i>₂₀₀₁<i>x</i>₁= 0.

Через центр окружности проведены еще четыре окружности, касающиеся данной (см. рис.). Сравните площади фигур, выделенных на рисунке черным и серым цветом соответственно. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/86498/problem_86498_img_2.gif"> </div>

Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше периметра?

Решите неравенство: |<i>x</i>+ 2000| < |<i>x</i>- 2001|.