Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 4-9 класса - сложность 3 с решениями

Решите в целых числах уравнение  (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 16<i>y</i> + 1.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>АВС</i>. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники <i>АВ</i>₁<i>С</i> и <i>ВА</i>₁<i>С</i> с одинаковыми углами α при их основаниях <i>АС</i> и <i>ВС</i>. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>С</i> к отрезку <i>А</i>₁<i>В</i>₁ пересекает серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> в точке <i>С</i>₁. Найдите угол <i>АС</i>₁<i>В</i>.

В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?