Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 5-9 класса - сложность 2 с решениями

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.

Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Прямоугольный параллелепипед размером <i>m</i>×<i>n</i>×<i>k</i> разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 2,  для которых многочлен  <i>xⁿ + x</i>² + 1  делится на многочлен  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность,  <i>АС = а,  BD = b,  AB</i> ⊥ <i>CD</i>.  Найдите радиус окружности.

Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.

Может ли полученное девятизначное число быть простым?

Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.

Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.