Олимпиадные задачи из источника «10 класс» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.

Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Прямоугольный параллелепипед размером <i>m</i>×<i>n</i>×<i>k</i> разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

Существует ли непрямоугольный треугольник, вписанный в окружность радиуса 1, у которого сумма квадратов длин двух сторон равна 4?

Найдите все натуральные  <i>n</i> > 2,  для которых многочлен  <i>xⁿ + x</i>² + 1  делится на многочлен  <i>x</i>² + <i>x</i> + 1.

Решите в целых числах уравнение  (<i>x</i>² – <i>y</i>²)² = 16<i>y</i> + 1.

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник <i>АВС</i>. Вне его построены равнобедренные тупоугольные треугольники <i>АВ</i>₁<i>С</i> и <i>ВА</i>₁<i>С</i> с одинаковыми углами α при их основаниях <i>АС</i> и <i>ВС</i>. Перпендикуляр, проведённый из вершины <i>С</i> к отрезку <i>А</i>₁<i>В</i>₁ пересекает серединный перпендикуляр к стороне <i>АВ</i> в точке <i>С</i>₁. Найдите угол <i>АС</i>₁<i>В</i>.

В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность,  <i>АС = а,  BD = b,  AB</i> ⊥ <i>CD</i>.  Найдите радиус окружности.

Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.

Может ли полученное девятизначное число быть простым?

Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника.

Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.