Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 4-9 класса - сложность 1-5 с решениями

Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.

Найдите сумму площадей этих кругов.

В равенстве  <i>х</i>⁵ + 2<i>x</i> + 3 = <i>p^k</i>  числа <i>х</i> и <i>k</i> – натуральные. Может ли число <i>р</i> быть простым?

На столе выложены в ряд 64 гирьки, причём масса двух любых соседних гирек отличается на 1 г. Требуется разложить гирьки на две кучки с равными массами и равным количеством гирь. Всегда ли это удастся?

Точки <i>D, Е</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>ВС, АС</i> и <i>АВ</i> треугольника <i>АВС</i> соответственно. Через центры вписанных окружностей треугольников <i>AEF, BDF</i> и <i>СDE</i> проведена окружность. Докажите, что её радиус равен радиусу описанной окружности треугольника <i>DEF</i>.

На доске размером 8×8 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата 3×3. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски?