Олимпиадные задачи из источника «02 (2004 год)» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

В тетраэдре <i>DABC</i>  ∠<i>ACB</i> = ∠<i>ADB</i>,  ребро <i>СD</i> перпендикулярно плоскости <i>АВС</i>. В треугольнике <i>АВС</i> дана высота <i>h</i>, проведённая к стороне <i>АВ</i>, и расстояние <i>d</i> от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите <i>CD</i>.

Трапеция <i>АВСD</i> с основаниями <i>AB</i> и <i>CD</i> вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые <i>AC, BC, AD</i> и <i>BD</i>, является вписанным.

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?