Олимпиадные задачи из источника «02 (2004 год)» для 4-9 класса - сложность 1-3 с решениями

На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стерли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стертых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.

Точки <i>Е</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>ВС</i> и <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>АВСD</i>. Докажите, что отрезок <i>EF</i> делит диагонали <i>АС</i> и <i>BD</i> в одном и том же отношении.

Треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Через точки <i>A</i> и <i>B</i> проведены касательные к этой окружности, которые пересекаются в точке <i>P</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> — ортогональные проекции точки <i>P</i> на прямые <i>AC</i> и <i>BC</i>. Докажите, что прямая <i>XY</i> перпендикулярна медиане треугольника <i>ABC</i>, проведенной из вершины <i>C</i>.

Дан квадрат <i>ABCD</i>. Найдите геометрическое место точек <i>M</i> таких, что ∠<i>AMB</i> = ∠<i>CMD</i>.

Постройте треугольник <i>АВС</i> по углу <i>А</i> и медианам, проведенным из вершин <i>В</i> и <i>С</i>.

В выпуклом четырехугольнике <i>АВСD</i> точка <i>Е</i> — середина <i>CD</i>, <i>F</i> — середина <i>АD</i>, <i>K</i> — точка пересечения <i>АС</i> и <i>ВЕ</i>. Докажите, что площадь треугольника <i>BKF</i> в два раза меньше площади треугольника <i>АВС</i>.