Олимпиадные задачи из источника «05 (2007 год)» для 4-9 класса - сложность 2 с решениями

B некоторой трапеции сумма длин боковой стороны и диагонали равна сумме длин другой боковой стороны и другой диагонали.

Докажите, что трапеция равнобокая.

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Tочка <i>A</i> лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые <i>AP</i> и <i>AQ</i> пересекают вторую окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Укажите положение точки <i>A</i>, при котором треугольник <i>ABC</i> имеет наибольшую площадь.

Tреугольник разбили на пять треугольников, ему подобных. Bерно ли, что исходный треугольник – прямоугольный?

Пусть <i>I</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. Oкружность, описанная около треугольника <i>BIC</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>EF</i> касается окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>.

Постройте параллелограмм <i>ABCD</i>, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот <i>BH</i> и <i>BP</i> и середина стороны <i>AD</i>.

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Hа продолжениях катетов <i>AB</i> и <i>AC</i> за вершины <i>B</i> и <i>C</i> отложили равные отрезки <i>BK</i> и <i>CL. E</i> и <i>F</i> – точки пересечения отрезка <i>KL</i> и прямых, перпендикулярных <i>KC</i> и проходящих через точки <i>B</i> и <i>A</i> соответственно. БикЮ Докажите, что  <i>EF = FL</i>.