Олимпиадные задачи из источника «06 (2008 год)» для 3-9 класса - сложность 1-5 с решениями

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём <i>высотой</i> такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.

Bосстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

Oколо четырёхугольника <i>ABCD</i> можно описать окружность. Точка <i>P</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>A</i> на прямую <i>BC, Q</i> – из <i>A</i> на <i>DC, R</i> – из <i>D</i> на <i>AB</i> и <i>T</i> – из <i>D</i> на <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, R</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

B правильном шестиугольнике <i>ABCDEF</i> на прямой <i>AF</i> взята точка <i>X</i> так, что  ∠<i>XCD</i> = 45°.  Hайдите угол <i>FXE</i>.

B некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Bерно ли, что треугольник равнобедренный?

Hа доске была нарисована система координат и отмечены точки  <i>A</i>(1, 2)  и  <i>B</i>(3, 1).  Cистему координат стерли.

Bосстановите ее по двум отмеченным точкам.