Олимпиадные задачи из источника «07 (2009 год)» для 2-9 класса - сложность 2 с решениями

Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (<i>Исследование проводить не требуется.</i>)

В треугольнике <i>ABC  AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. На стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что  <i>B</i>₁<i>K || BC</i>  и  <i>MA</i>₁ || <i>AC</i>.  Докажите, что  ∠<i>AA</i>₁<i>K</i> = ∠<i>BB</i>₁<i>M</i>.

Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.