Олимпиадные задачи из источника «08 (2010 год)» для 5-9 класса - сложность 3-4 с решениями

B треугольнике <i>ABC</i> точка <i>O</i> – центр описанной окружности. Прямая <i>a</i> проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины <i>A</i>, и параллельна <i>OA</i>. Aналогично определяются прямые <i>b</i> и <i>c</i>. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.

Из вершины <i>A</i> параллелограмма <i>ABCD</i> опущены высоты <i>AM</i> на <i>BC</i> и <i>AN</i> на <i>CD</i>. <i>P</i> – точка пересечения <i>BN</i> и <i>DM</i>. Докажите, что прямые <i>AP</i> и <i>MN</i> перпендикулярны.

Cерединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно <i>AB</i> (при этом точки <i>A</i> и <i>B</i> неподвижны). Докажите, что прямая <i>MN</i> касается фиксированной окружности.

На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>K</i> и <i>M</i> соответственно, а на диагонали <i>AC</i> – точка <i>L</i> так, что <i>ML = KL</i>. Пусть <i>P</i> – точка пересечения отрезков <i>MK</i> и <i>BD</i>. Найдите угол <i>KPL</i>.

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i>. <i>H</i> – точка пересечения высот. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> и соответственно так, что ∠<i>KMH</i> = 90°. Докажите, что из отрезков <i>AK</i>, <i>CM</i> и <i>MK</i> можно сложить прямоугольный треугольник.