Олимпиадные задачи из источника «11 класс» для 2-9 класса - сложность 3 с решениями

В каждой клетке шахматной доски сидят по два таракана. В некоторый момент времени каждый таракан переползает на соседнюю (по стороне) клетку, причём тараканы, сидевшие в одной клетке, переползают в разные клетки. Какое наибольшее количество клеток доски может после этого остаться свободным?

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

В треугольнике<i> ABC </i>точка<i> D </i>– середина стороны<i> AB </i>. Можно ли так расположить точки<i> E </i>и<i> F </i>на сторонах<i> AC </i>и<i> BC </i>соответственно, чтобы площадь треугольника<i> DEF </i>оказалась больше суммы площадей треугольников<i> AED </i>и<i> BFD </i>?