Олимпиадные задачи из источника «9 класс» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, проведенные из точек <i>B</i> и <i>C</i>, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Оказалось, что отрезок <i>B</i>₁<i>C</i>₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол <i>BAC</i>.

Существуют ли числа такие <i>p</i> и <i>q</i>, что уравнения  <i>x</i>² + (<i>p</i> – 1)<i>x + q</i> = 0  и  <i>x</i>² + (<i>p</i> + 1)<i>x + q</i> = 0  имеют по два различных корня, а уравнение

<i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  не имеет корней?

Пройдя ⁴/₉ длины моста, пешеход заметил, что его догоняет машина, еще не въехавшая на мост. Тогда он повернул назад и встретился с ней у начала моста. Если бы он продолжил свое движение, то машина догнала бы его у конца моста. Найдите отношение скоростей машины и пешехода.

<i>M</i> – точка пересечения диагоналей трапеции <i>ABCD</i>. На основании <i>BC</i> выбрана такая точка <i>P</i>, что  ∠<i>APM</i> = ∠<i>DPM</i>.

Докажите, что расстояние от точки <i>C</i> до прямой <i>AP</i> равно расстоянию от точки <i>B</i> до прямой <i>DP</i>.