Олимпиадные задачи из источника «8 Класс»

На дне рождения у Васи было 10 ребят (включая Васю). Оказалось, что у каждых двух из этих ребят есть общий дедушка.

Докажите, что у семи из них есть общий дедушка.

Представьте числовое выражение  2·2009² + 2·2010²  в виде суммы квадратов двух натуральных чисел. .

Школьный чемпионат по настольному теннису проводили по олимпийской системе. Победитель выиграл шесть партий. Сколько участников турнира выиграло игр больше, чем проиграло? (На турнире по олимпийской системе участников разбивают на пары. Те, кто проиграл игру в первом туре, выбывают. Тех, кто выиграл в первом туре, снова разбивают на пары. Те, кто проиграл во втором туре, выбывают и т. д. В каждом туре для каждого участника нашлась пара.)

В треугольнике <i>АВС</i> медиана <i>ВМ</i> в два раза меньше стороны <i>АВ</i> и образует с ней угол 40°. Найдите угол <i>АВС</i>.

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> проведена биссектриса <i>BD</i>. На прямой <i>AB</i> взята точка <i>E</i> так, что  ∠<i>EDB</i> = 90°.

Найдите <i>BE</i>, если <i>AD</i> = 1.