Олимпиадные задачи из источника «9 класс»

Двадцать пять монет раскладывают по кучкам следующим образом. Сначала их произвольно разбивают на две группы. Затем любую из имеющихся групп снова разбивают на две группы, и так далее до тех пор, пока каждая группа не будет состоять из одной монеты. При каждом разбиении какой-либо группы на две записывается произведение количеств монет в двух получившихся группах. Чему может быть равна сумма всех записанных чисел?

Высоты <i>AD</i> и <i>BE</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Описанная окружность треугольника <i>ABH</i>, пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>F</i> и <i>G</i> соответственно. Найдите <i>FG</i>, если  <i>DE</i> = 5 см.

В квадратной таблице размером 100×100 некоторые клетки закрашены. Каждая закрашенная клетка является единственной закрашенной клеткой либо в своем столбце, либо в своей строке. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

В равнобедренный треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB = BC</i>)  вписана окружность с центром <i>O</i>, которая касается стороны <i>AB</i> в точке <i>E</i>. На продолжении стороны <i>AC</i> за точку <i>A</i> выбрана точка <i>D</i> так, что  <i>AD</i> = ½ <i>AC</i>. Докажите, что прямые <i>DE</i> и <i>AO</i> параллельны.

На рисунке изображен график функции  <i>y = x</i>² + <i>ax + b</i>.  Известно, что прямая <i>AB</i> перпендикулярна прямой  <i>y = x</i>.

Найдите длину отрезка <i>OC</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/64540/problem_64540_img_2.png"></div>

На доске записано несколько последовательных натуральных чисел. Ровно 52% из них – чётные. Сколько чётных чисел записано на доске?