Олимпиадные задачи из источника «Заочный тур» для 11 класса - сложность 1-3 с решениями

В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка <i>A</i>, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка <i>B</i>, обладающая следующим свойством: если через точки <i>A</i> и <i>B</i> провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от <i>B</i>.

а) Все вершины пирамиды лежат на гранях куба, но не на его ребрах, причем на каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида?

б) Все вершины пирамиды лежат в плоскостях граней куба, но не на прямых, содержащих его ребра, причем в плоскости каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида?