Олимпиадные задачи из источника «IV Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2008 г.)» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
IV Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2008 г.)
НазадВ пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка <i>A</i>, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка <i>B</i>, обладающая следующим свойством: если через точки <i>A</i> и <i>B</i> провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от <i>B</i>.
а) Все вершины пирамиды лежат на гранях куба, но не на его ребрах, причем на каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида?
б) Все вершины пирамиды лежат в плоскостях граней куба, но не на прямых, содержащих его ребра, причем в плоскости каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида?
Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?
Дан треугольник<i> ABC </i>. Вневписанная окружность касается его стороны<i> BC </i>в точке<i> A<sub>1</sub> </i>и продолжений двух других сторон. Другая вневписанная окружность касается стороны<i> AC </i>в точке<i> B<sub>1</sub> </i>. Отрезки<i> AA<sub>1</sub> </i>и<i> BB<sub>1</sub> </i>пересекаются в точке<i> N </i>. На луче<i> AA<sub>1</sub> </i>отметили точку<i> P </i>, такую что<i> AP=NA<sub>1</sub> </i>. Докажите, что точка<i> P </i>лежит на вписанной в треугольник окружности.
Имеется треугольник <i>ABC</i>. На луче <i>BA</i> отложим точку <i>A</i><sub>1</sub>, так что отрезок <i>BA</i><sub>1</sub> равен <i>BC</i>. На луче <i>CA</i> отложим точку <i>A</i><sub>2</sub>, так что отрезок <i>C</i><sub>2</sub> равен <i>BC</i>. Аналогично построим точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i> <sub&...
Даны четыре точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>. Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через<i> A </i>и<i> B </i>, а другая — через<i> C </i>и<i> D </i>, пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности с центром<i> I </i>. Докажите, что проекции точек<i> B </i>и<i> D </i>на прямые<i> IA </i>и<i> IC </i>лежат на одной окружности.
Прямые, симметричные диагонали <i>BD</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> относительно биссектрис углов <i>B</i> и <i>D</i>, проходят через середину диагонали <i>AC</i>.
Докажите, что прямые, симметричные диагонали <i>AC</i> относительно биссектрис углов <i>A</i> и <i>C</i>, проходят через середину диагонали <i>BD</i>.
а) Докажите, что при<i> n></i>4любой выпуклый<i> n </i>-угольник можно разрезать на<i> n </i>тупоугольных треугольников.
б) Докажите, что при любом<i> n </i>существует выпуклый<i> n </i>-угольник, который нельзя разрезать меньше, чем на<i> n </i>тупоугольных треугольников.
в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать прямоугольник?
На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке<i> A </i>. Пусть<i> B </i> — произвольная точка одной из этих окружностей,<i> C </i> — другой. Для каждого треугольника<i> ABC </i>рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке<i> K </i>, причем одна окружность касается прямой<i> AB </i>в точке<i> B </i>, а другая — прямой<i> AC </i>в точке<i> C </i>. Найдите ГМТ<i> K </i>.