Олимпиадные задачи из источника «IV Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2008 г.)» для 8 класса - сложность 3 с решениями
IV Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2008 г.)
НазадДан параллелограмм <i>ABCD</i>, в котором <i>AB = a, AD = b</i>. Первая окружность имеет центр в вершине <i>A</i> и проходит через <i>D</i>, вторая имеет центр в <i>C</i> и проходит через <i>D</i>. Произвольная окружность с центром <i>B</i> пересекает первую окружность в точках <i>M</i><sub>1</sub>, <i>N</i><sub>1</sub>, а вторую – в точках <i>M</i><sub>2</sub>, <i>N</i><sub>2</sub>. Чему равно отношение <i>M</i><sub>1</sub><i>N</i><sub>1</sub> : <i>M</i><sub>2</sub><i>N</i><sub>2</sub>?
Прямая, соединяющая центр описанной окружности и точку пересечения высот неравнобедренного треугольника, параллельна биссектрисе одного из его углов. Чему равен этот угол?
Имеется треугольник <i>ABC</i>. На луче <i>BA</i> отложим точку <i>A</i><sub>1</sub>, так что отрезок <i>BA</i><sub>1</sub> равен <i>BC</i>. На луче <i>CA</i> отложим точку <i>A</i><sub>2</sub>, так что отрезок <i>C</i><sub>2</sub> равен <i>BC</i>. Аналогично построим точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i> <sub&...
Даны четыре точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>,<i> D </i>. Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через<i> A </i>и<i> B </i>, а другая — через<i> C </i>и<i> D </i>, пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Четырехугольник<i> ABCD </i>описан около окружности с центром<i> I </i>. Докажите, что проекции точек<i> B </i>и<i> D </i>на прямые<i> IA </i>и<i> IC </i>лежат на одной окружности.
а) Докажите, что при<i> n></i>4любой выпуклый<i> n </i>-угольник можно разрезать на<i> n </i>тупоугольных треугольников.
б) Докажите, что при любом<i> n </i>существует выпуклый<i> n </i>-угольник, который нельзя разрезать меньше, чем на<i> n </i>тупоугольных треугольников.
в) На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать прямоугольник?
Дана окружность и точка <i>O</i> на ней. Вторая окружность с центром <i>O</i> пересекает первую в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точка <i>C</i> лежит на первой окружности, а прямые <i>CP, CQ</i> вторично пересекают вторую окружность в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Докажите, что <i>AB = PQ</i>.
Постройте квадрат<i> ABCD </i>, если даны его вершина<i> A </i>и расстояния от вершин<i> B </i>и<i> D </i>до фиксированной точки плоскости<i> O </i>.
Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один из его углов равен 60°.
Для данной пары окружностей постройте две концентрические окружности, каждая из которых касается двух данных. Сколько решений имеет задача, в зависимости от расположения окружностей?