Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно основания биссектрисы, проведённой к этой же стороне. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

В треугольнике <i>ABC</i>  <i>AA</i>₀ и <i>BB</i>₀ – медианы, <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. Описанные окружности треугольников <i>CA</i>₀<i>B</i>₀ и <i>CA</i>₁<i>B</i>₁ вторично пересекаются в точке <i>M_c</i>. Аналогично определяются точки <i>M_a, M_b</i>. Докажите, что точки <i>M_a, M_b, M_c</i> лежат на одной прямой, а прямые <i...

Высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i>₁ – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i>₁<i>DM</i> и <i>A</i>₁<i>DN</i&g...