Олимпиадные задачи из источника «1 турнир (1980 год)» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями

  Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Каждая его сторона разбита на <i>k</i> равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне <i>AB</i>, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне <i>CD</i>, так что первая, считая от <i>A</i>, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от <i>D</i>, вторая, считая от <i>A</i>, – со второй, считая от <i>D</i>, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне <i>BC</i>, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне <i>DA</i> (вторая серия прямых). Образовалось <i>k</i>² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано <i>k</i> четырёхуго...

В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них найдутся два, угол между которыми меньше 45°.

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₁₀₁  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что <i>a</i>_<i>k</i> делится на <i>k</i> при каждом <i>k</i>. Найти все такие перестановки.

В таблице <i>N</i>×<i>N</i>, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе).

Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.