Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 5-9 класса - сложность 3-5 с решениями
весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
НазадЧетырёхугольник <i>ABCD</i> – ромб. На стороне <i>BC</i> взята точка <i>P</i>. Через точки <i>A, B</i> и <i>P</i> проведена окружность, которая пересекается с прямой <i>BD</i> ещё раз в точке <i>Q</i>. Через точки <i>C, P</i> и <i>Q</i> проведена окружность, которая пересекается с <i>BD</i> ещё раз в точке <i>R</i>. Докажите, что точки <i>A, R</i> и <i>P</i> лежат на одной прямой.
Если повернуть квадрат вокруг его центра на 45°, то стороны повёрнутого квадрата разобьют каждую сторону первоначального отрезка на три отрезка, длины которых относятся как <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i> (эти отношения легко вычислить). Для произвольного выпуклого четырёхугольника сделаем аналогичное построение: разобьём каждую его сторону в тех же отношениях <i>a</i> : <i>b</i> : <i>a</i> и проведём прямую через каждые две точки деления, соседние с вершиной (лежащие на сходящейся к ней стороне). Докажите, что площадь четырёхугольника, ограниченного четырьмя построенными прямыми, равна площади исходного четырёхугольника.
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 200 граммов. Такой набор называется <i>правильным</i>, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 200, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири - на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов? (Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
Сколько существует таких пар натуральных чисел (<i>m, n</i>), каждое из которых не превышает 1000, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98049/problem_98049_img_2.gif">
На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость <i>xOy</i> графики 100 квадратных трехчлёнов вида
<i>y = a<sub>n</sub>x</i>² + <i>b<sub>n</sub>x + c<sub>n</sub></i> (<i>n</i> = 1, 2, ..., 100)?