Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, основной вариант, 8-9 класс» для 3-8 класса - сложность 2-3 с решениями

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним проведена общая касательная, которая касается первой окружности в точке <i>C</i>, а второй – в точке <i>D</i>. Пусть <i>B</i> – ближайшая к прямой <i>CD</i> точка пересечения окружностей. Прямая <i>CB</i> второй раз пересекает вторую окружность в точке <i>E</i>. Докажите, что <i>AD</i> – биссектриса угла <i>CAE</i>.

Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>. Постройте прямую <i>l</i>, удовлетворяющую следующим условиям:  <i>l || BC,  l</i> пересекает треугольник <i>ABC</i>; отрезок прямой <i>l</i>, заключённый внутри треугольника, виден из точки <i>M</i> под прямым углом.

Последовательность {<i>x_n</i>} определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+2 = <i>x_n</i> – ¹/_{<i>x</i>_<i>n</i>+1}   при  <i>n</i> ≥ 1.

Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого члена.