Олимпиадные задачи из источника «19 турнир (1997/1998 год)» для 11 класса - сложность 3 с решениями
19 турнир (1997/1998 год)
НазадВнутренняя точка <i>M</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> такова, что треугольники <i>AMB</i> и <i>CMD</i> – равнобедренные с углом величиной 120° при вершине <i>M</i>.
Докажите существование такой точки <i>N</i>, что треугольники <i>BNC</i> и <i>DNA</i> – правильные.
Положительные числа <i>A, B, C</i> и <i>D</i> таковы, что система уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² = <i>A</i>,
|<i>x| + |y| = B</i>
имеет <i>m</i> решений, а система уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = <i>C</i>,
|<i>x| + |y| + |z| = D</i>
имеет <i>n</i> решений. Известно, что <i>m > n</i> > 1. Найдите <i>m</i> и <i>n</i>.
Верны ли утверждения:
а) Если многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
б) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два равных многоугольника, то его можно разбить отрезком на два равных многоугольника.
в) Если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга движением, сохраняющим ориентацию (то есть поворотом или параллельным переносом), то его можно разбить отрезком на два многоугольника, которые можно перевести друг в друга таким же движением.
Каждая сторона правильного треугольника разбита на 10 равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на 100 маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску. Какое максимальное число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений?