Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 8-9 класс»

Есть шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной <i>n</i>, разделённая бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Тот, кто получит последний кусок – треугольник со стороной 1, – победитель. Для каждого <i>n</i> выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы не играл противник?

Трапеция с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> описана вокруг окружности, <i>E</i> – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол <i>AED</i> не может быть острым.

Какое наибольшее число клеток доски 9×9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?

В однокруговом турнире участвовали 15 команд.

  а) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира.

  б) Могла ли такая игра быть единственной?

Дан треугольник <i>ABC</i>. В нём <i>R</i> – радиус описанной окружности, <i>r</i> – радиус вписанной окружности, <i>a</i> – длина наибольшей стороны, <i>h</i> – длина наименьшей высоты. Докажите, что  ^<i>R</i>/<i>_r > ^a</i>/_<i>h</i>.

Вася пишет на доске квадратное уравнение  <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> = 0  с натуральными коэффициентами <i>a, b, c</i>. После этого Петя, если хочет, может заменить один или два знака "+" на "–". Если у получившегося уравнения оба корня целые, то выигрывает Вася, если же корней нет или хотя бы один из них нецелый – Петя. Может ли Вася подобрать коэффициенты уравнения так, чтобы наверняка выиграть у Пети?