Олимпиадные задачи из источника «30 турнир (2008/2009 год)» для 6-10 класса - сложность 4-5 с решениями
30 турнир (2008/2009 год)
НазадДано целое число <i>n</i> > 1. Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по <i>n</i> точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?
Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)? (Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)
Многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с действительными коэффициентами таков, что уравнение <i>P</i>(<i>m</i>) + <i>P</i>(<i>n</i>) = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах <i>m</i> и <i>n</i>.
Докажите, что у графика <i>y = P</i>(<i>x</i>) есть центр симметрии.
В бесконечной последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... число <i>a</i><sub>1</sub> равно 1, а каждое следующее число <i>a<sub>n</sub></i> строится из предыдущего <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub> по правилу: если у числа <i>n</i> наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> + 1, если же остаток равен 3, то <i>a<sub>n</sub> = a</i><sub><i>n</i>–1</sub> – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встреч...
В ячейку памяти компьютера записали число 6. Далее компьютер делает миллион шагов. На шаге номер <i>n</i> он увеличивает число в ячейке на наибольший общий делитель этого числа и <i>n</i>. Докажите, что на каждом шаге компьютер увеличивает число в ячейке либо на 1, либо на простое число.