Олимпиадные задачи из источника «9-10 класс» для 2-10 класса - сложность 3 с решениями

На полосе бумаги написаны подряд 60 знаков: "×" и "0". Эту полоску разрезают на куски с симметричным расположением знаков. Например:

0,  × ×,  0 × × × × 0,  × 0 ×,  ... .

  а) Докажите, что существует такой способ разрезания, при котором кусков не больше 24.

  б) Приведите пример такого расположения знаков, при котором меньше 15 кусков получить нельзя.

Докажите для каждого натурального числа  <i>n</i> > 1  равенство:   [<i>n</i>^1/2] + [<i>n</i>^1/3] + ... + [<i>n</i>^1/<i>n</i>] = [log_₂<i>n</i>] + [log_₃<i>n</i>] + ... + [log<i>_nn</i>].