Олимпиадные задачи из источника «9-10 класс» для 7-11 класса - сложность 3 с решениями
9-10 класс
НазадНа полосе бумаги написаны подряд 60 знаков: "×" и "0". Эту полоску разрезают на куски с симметричным расположением знаков. Например:
0, × ×, 0 × × × × 0, × 0 ×, ... .
а) Докажите, что существует такой способ разрезания, при котором кусков не больше 24.
б) Приведите пример такого расположения знаков, при котором меньше 15 кусков получить нельзя.
Докажите для каждого натурального числа <i>n</i> > 1 равенство: [<i>n</i><sup>1/2</sup>] + [<i>n</i><sup>1/3</sup>] + ... + [<i>n</i><sup>1/<i>n</i></sup>] = [log<sub><sub>2</sub></sub><i>n</i>] + [log<sub><sub>3</sub></sub><i>n</i>] + ... + [log<i><sub>n</sub>n</i>].