Олимпиадные задачи из источника «4 турнир (1982/1983 год)» для 10-11 класса - сложность 4 с решениями

  а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?

  б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.

а) Из произвольной точки <i>M</i> внутри правильного <i>n</i>-угольника проведены перпендикуляры  <i>MK</i>₁, <i>MK</i>₂, ..., <i>MK_n</i>  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_2.gif">   (<i>O</i> – центр <i>n</i>-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки <i>M</i> внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_3.gif">   где <i>O</i> – центр тетраэдра....