Олимпиадные задачи из источника «4 турнир (1982/1983 год)» для 11 класса - сложность 4-5 с решениями
4 турнир (1982/1983 год)
Назад<i>k</i> вершин правильного <i>n</i>-угольника закрашены. Закраска называется <i>почти равномерной</i>, если для любого натурального <i>m</i> верно следующее условие: если <i>M</i><sub>1</sub> – множество <i>m</i> расположенных подряд вершин и <i>M</i><sub>2</sub> – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в <i>M</i><sub>1</sub> отличается от количества закрашенных вершин в <i>M</i><sub>2</sub> не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных <i>n</i> и <i>k</i> ≤ <i>n</i> почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множест...
Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
а) Из произвольной точки <i>M</i> внутри правильного <i>n</i>-угольника проведены перпендикуляры <i>MK</i><sub>1</sub>, <i>MK</i><sub>2</sub>, ..., <i>MK<sub>n</sub></i> к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_2.gif"> (<i>O</i> – центр <i>n</i>-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки <i>M</i> внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_3.gif"> где <i>O</i> – центр тетраэдра....