Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, 9-10 класс» для 1-8 класса - сложность 2-3 с решениями

В параллелограмме <i>ABCD</i>, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла <i>BAD</i>. <i>K</i> и <i>L</i> – точки её пересечения с прямыми <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки <i>C</i>, <i>K</i> и <i>L</i>, лежит на окружности, проведённой через точки <i>B</i>, <i>C</i> и <i>D</i>.

При каком натуральном <i>K</i> величина   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97900/problem_97900_img_2.gif">   достигает максимального значения?

20 футбольных команд проводят первенство. В первый день все команды сыграли по одной игре. Во второй также все команды сыграли по одной игре.

Докажите, что после второго дня можно указать такие 10 команд, что никакие две из них не играли друг с другом.