Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 9-10 класс» для 10-11 класса - сложность 2-5 с решениями

На окружности имеется 21 точка.

Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.

Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причём каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдётся хотя бы по одной выбранной клетке.

В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.

Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Существует ли такое <i>N</i> и такие  <i>N</i> – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., <i>N</i>,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?