Олимпиадные задачи из источника «Турнир им.Ломоносова» для 6 класса - сложность 3-4 с решениями
Турнир им.Ломоносова
НазадПетя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: <i>m, n</i> и 0, причём <i>m</i> и <i>n</i> не имеют общих делителей и <i>m < n</i>. Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить
а) единицу;
б) любое целое число от 1 до <i>n</i>.