Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 10 класса - сложность 3 с решениями

Докажите, что уравнение  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 4(<i>x</i>²<i>y + xy</i>² + 1)  не имеет решений в целых числах.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109540/problem_109540_img_2.gif">

Решите в положительных числах систему уравнений     <img src="/storage/problem-media/109538/problem_109538_img_2.gif">

В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из каждого города можно проехать по дорогам в любой другой.

Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)

Дан правильный 2<i>n</i>-угольник.

Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Точка <i>O</i> – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром <i>O</i> касается всех боковых граней пирамиды. Точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> проходят через три точки касания сферы с гранями.

Докажите, что отрезок <i>AD</i> проходит через четвёртую точку касания.

Докажите, что для любого натурального  <i>n</i> > 2  число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif">   делится на 8.